知识全景图 / 学科主线/数学主线 / 小学数学第一阶段
Primary Math Stage 1

小学数学第一阶段：从数东西到加减乘除

这一页适合一二年级到三年级初期。我们先不讲"大数学"，只把最底层的事情讲清楚： 桌上有几个苹果？谁多？谁少？平均分给几个人？ 数学就是把这些事情说清楚、画清楚、算清楚。

今天先学什么数、加、减、乘、除、分数、应用题。
怎么学每个知识点都先讲人话，再看例子，再自己做一题。
学会的标准不是只会写答案，而是能说出"为什么这样算"。
给孩子的一句话： 遇到数学题，不要先慌，也不要先猜公式。先问三件事：题里有什么、它们是什么关系、题目问我要什么。
第一课：数，就是回答"有多少"

数学最早不是算题，而是数东西。

1. 数字不是符号游戏

比如桌上有 5 个苹果。数字 5 的意思不是"长得像 5 的符号"，而是：苹果一共有 5 个。

看到一个数，先问：它数的是什么东西？
0 1 2 3 4 5 6 7 5在这里
数轴：每个数都有自己的位置，越往右越大

例子

5 个苹果、5 元钱、5 米绳子，数字都是 5，但意思不完全一样。因为后面的单位不一样。

你来试试

"3"可以表示哪些东西？请说出 3 个例子。

参考答案

3 本书、3 个小朋友、3 元钱。你说别的也可以，只要能说清楚"3 个什么"。

补充课：位值——数字站在哪个位置，意义完全不同

42 里面的 4 不是"四个"，而是"四个十"。这就是位值。

一个数字不只是"几"，还要看它站在哪一位

你口袋里有 42 元。4 和 2 并不是 4 元加 2 元，而是 40 元加 2 元。为什么？因为 4 站在"十位"上，2 站在"个位"上。

百位 十位 个位 0 4 2 0 个百 4 个十 = 40 2 个一 = 2 42 = 40 + 2
42 的 4 站在十位，代表 40；2 站在个位，代表 2
数字 = 符号 + 位置。同一个 5，在个位是 5，在十位是 50，在百位是 500。

竖式加法——位值对齐

为什么要"个位对个位、十位对十位"？因为只有同一位置的数字才能直接相加。

3 6 + 4 8 ← 进位 1 8 4 个位：6+8=14 写4进1；十位：3+4+1=8

竖式减法——不够就借

个位不够减，就从十位借 1（等于借了 10）。

5 2 − 2 7 ← 退位 2 5 个位：12-7=5（借1当10）

你来试试

  1. 365 里面的 3 代表什么？6 代表什么？5 代表什么？
  2. 用竖式算：47 + 38 = ？
  3. 用竖式算：63 - 27 = ？

答案

  1. 3 在百位 = 300，6 在十位 = 60，5 在个位 = 5。365 = 300 + 60 + 5。
  2. 47 + 38：个位 7+8=15（写5进1），十位 4+3+1=8。85。
  3. 63 - 27：个位 3 不够减 7，从十位借 1，变成 13-7=6。十位 5-2=3。36。
第二课：加法，就是合起来

2. 加法最常见的意思：两堆合成一堆

你有 4 颗糖，妈妈又给你 3 颗。现在一共有多少颗？这就是加法。

4 + 3 = 7，意思是：4 颗和 3 颗合起来，一共 7 颗。
0 1 2 3 4 5 6 7 +3
数轴上从 4 往右跳 3 格，就到了 7

怎么想

  1. 先看第一堆：4 颗。
  2. 再看第二堆：3 颗。
  3. 问"一共"，就是合起来。

你来试试

书包里有 6 支铅笔，桌上还有 5 支铅笔，一共有多少支？

答案

6 + 5 = 11。一共有 11 支铅笔。

第三课：减法，不只是"拿走"

3. 减法有两个常用意思

第一种：拿走。第二种：比较差多少。很多小朋友只记住第一种，所以应用题容易错。

意思 A：拿走

有 10 颗糖，吃掉 3 颗，还剩几颗？

10 - 3 = 7

意思 B：比较

小明有 10 颗糖，小红有 3 颗糖，小明比小红多几颗？

10 - 3 = 7

同一个 10 - 3，可以讲两个不同的故事。
3 4 5 6 7 8 9 10 7 在这里 -3（往左跳 3 格）
数轴上从 10 往左跳 3 格，就到了 7

你来试试

15 - 8 可以讲成"拿走"的故事，也可以讲成"比较"的故事。你各讲一个。

参考答案

拿走：15 个橘子吃掉 8 个，还剩 7 个。比较：哥哥 15 岁，妹妹 8 岁，哥哥比妹妹大 7 岁。

第四课：乘法，就是"几个相同的数"

4. 乘法不是只背口诀

一盒铅笔有 6 支，4 盒一共有多少支？这是 4 个 6。

6 + 6 + 6 + 6 = 24，也可以写成 6 × 4 = 24。

画成图

4 行，每行 6 个点，就是 4 个 6，等于 24。

第1行 第2行 第3行 第4行 每行 6 个 4 行
4 行 x 6 个 = 24 个点

你来试试

每袋有 8 颗糖，5 袋一共有多少颗？请先说"几个几"，再列式。

答案

是 5 个 8。列式：8 × 5 = 40。一共有 40 颗糖。

第五课：除法，有两种分法

5. 除法不是只有一种意思

24 ÷ 6 可以讲成两种故事。你都能讲出来，才是真的懂除法。

故事 A：平均分

24 个糖果平均分给 6 个小朋友，每人几个？

24 ÷ 6 = 4，每人 4 个。

人1 人2 人3 人4 人5 人6
24 个糖平均分给 6 人，每人 4 个

故事 B：每几个一组

24 个糖果，每 6 个装一袋，能装几袋？

24 ÷ 6 = 4，能装 4 袋。

袋1 袋2 袋3 袋4
每 6 个装一袋，24 个装了 4 袋

你来试试

36 ÷ 4 请讲两个故事：一个是平均分，一个是每 4 个一组。

答案

平均分：36 个平均分给 4 人，每人 9 个。每组分：36 个每 4 个一组，可以分 9 组。

补充课：有余数的除法

分不完怎么办？剩下的就是余数

17 颗糖平均分给 5 个小朋友，每人 3 颗，还剩 2 颗分不完了。这就是有余数的除法。

17 ÷ 5 = 3 …… 2。读作：17 除以 5 等于 3 余 2。意思是每人分 3 颗，还剩 2 颗。

怎么想

  1. 先想：5 × 几 最接近 17 但不超过 17？5 × 3 = 15。
  2. 再算：17 - 15 = 2，这就是余数。
  3. 验证：商 × 除数 + 余数 = 被除数。3 × 5 + 2 = 17 ✓

一个重要规则

余数一定要比除数小。如果余数比除数大（或一样大），说明还能继续分。

比如 17 ÷ 5：余数是 2，2 < 5，对的。如果余数是 5，那就还能再分一次（每人多 1 颗）。

你来试试

  1. 23 ÷ 4 = ？……？
  2. 30 ÷ 7 = ？……？
  3. 50 ÷ 8 = ？……？

答案

  1. 4 × 5 = 20，23 - 20 = 3。所以 23 ÷ 4 = 5 …… 3（3 < 4 ✓）
  2. 7 × 4 = 28，30 - 28 = 2。所以 30 ÷ 7 = 4 …… 2
  3. 8 × 6 = 48，50 - 48 = 2。所以 50 ÷ 8 = 6 …… 2
第六课：分数，就是"一个整体的一部分"

6. 分数最重要的是"整体"

半个大西瓜和半个小苹果都可以写成 1/2，但它们不一样大。为什么？因为整体不一样。

看到分数，先问：把谁当作一个整体？是不是平均分？拿了几份？
0 1/4 2/4 3/4 1 2/4 = 1/2
线段图：把 0 到 1 平均分成 4 份，2 份就是一半

例子 1：蛋糕图

把一个蛋糕平均切成 4 份，拿 1 份，就是 1/4。

如果拿 2 份，就是 2/4，也就是半个蛋糕。

1/4
涂色部分 = 1/4 个蛋糕

例子 2：格子图

一个长方形有 8 个格子，涂了 3 个，就是 3/8。

格子图的好处：一眼就能看出"几分之几"。

涂了 3 格，一共 8 格 = 3/8

你来试试

为什么 2/4 和 1/2 一样大？请用蛋糕解释。

答案

同一个蛋糕，切成 4 份拿 2 份，就是拿了一半。所以 2/4 = 1/2。

第七课：应用题怎么读

应用题不是找关键词。比如看到"一共"不一定永远加法，看到"少"也不一定马上减法。先读懂关系。

7. 三步读题法

步骤问自己什么例子
第一步题里有谁？有什么数量？小明、小红、卡片数。
第二步谁和谁有关系？小红的卡片数 = 小明的 2 倍少 5 张。
第三步题目问什么？问小红有多少张。

完整示范

题目：小明有 36 张卡片。小红的卡片数是小明的 2 倍少 5 张。小红有多少张？

  1. 小明有 36 张。
  2. 小红是小明的 2 倍少 5 张。
  3. 先算 2 倍：36 × 2 = 72。
  4. 再少 5 张：72 - 5 = 67。
  5. 答：小红有 67 张。
第八课：六道小练习

先自己做。做完不要只对答案，要看自己有没有讲清楚。

1. 加法

篮子里有 9 个梨，又放进 6 个。现在有几个梨？

2. 减法

小华有 18 张贴纸，送给同学 7 张，还剩几张？

3. 比较

小明有 23 元，小红有 15 元。小明比小红多多少元？

4. 乘法

每排有 7 个座位，6 排一共有多少个座位？

5. 除法

32 个饼干平均分给 4 个小朋友，每人几个？

6. 应用题

一本书 80 页，第一天看了 25 页，第二天看了 30 页，还剩多少页？

第九课：答案

1

9 + 6 = 15，有 15 个梨。

2

18 - 7 = 11，还剩 11 张。

3

这是比较差多少：23 - 15 = 8，多 8 元。

4

是 6 个 7：7 × 6 = 42，一共 42 个座位。

5

平均分：32 ÷ 4 = 8，每人 8 个。

6

先算看了多少：25 + 30 = 55。再算剩下：80 - 55 = 25，还剩 25 页。

第十课：以后会长成什么

这部分不用背，只是让你知道：小学数学不是孤零零的。

空格会长成方程

小学：5 + □ = 12。初中：5 + x = 12。x 只是一个暂时不知道的数。
想看方程怎么从空格框长到矩阵？看方程主题树。

几个几会长成面积

4 行，每行 6 个点，就是 4 × 6。以后长方形面积也是这样来的。
想看几何怎么从量长度长到任意空间？看几何主题树。

表格会长成函数

1 支笔 3 元，2 支 6 元，3 支 9 元。数量变，总价也跟着变，这就是函数的种子。
想看函数怎么从"跟着变"长到函数空间？看函数主题树。

下一步： 读完这一页，如果加减乘除的意思都能讲清楚，就可以继续进入小学第二阶段：分数、小数、单位、周长、面积和体积。
回到数学主线总入口 / 回到学科主线 / 回到知识全景图总入口