力学是物理的地基。高中力学不是"更难的初中力学"，而是从定性走向定量，从单力走向系统分析。运动学描述怎么动，动力学解释为什么动，能量和动量提供全新的解题视角。本篇覆盖从运动描述到刚体转动的完整力学体系，14 节课带你建立扎实的力学基础。
物理学从描述运动开始。要准确描述运动，首先要选好"参照物"，搞清"位置""速度""加速度"的区别。
描述一个物体怎么运动，必须选另一个物体作为参考。坐在火车上，以地面为参考系你在高速运动，以火车为参考系你是静止的。选不同参考系，运动的描述不同。一般选地面为参考系。
位移：从初位置到末位置的直线距离，有方向，是矢量。用 x 表示。
路程：实际走过的轨迹长度，没有方向，是标量。用 s 表示。
走一圈回到起点：位移 = 0，路程 = 一圈的长度。
速度是描述位置变化快慢的物理量，是矢量（有方向）。
加速度描述速度变化的快慢，是矢量：
a = (v - v0) / t
加速度的方向与速度变化的方向一致，不一定与速度方向一致。速度增大时 a 与 v 同向，速度减小时 a 与 v 反向，转向时 a 与 v 垂直。
v-t 图是运动学最重要的工具图：
一辆汽车在 v-t 图上是一条过原点的直线，5 秒时速度达到 20 m/s。求：(1) 加速度；(2) 5 秒内位移。
(1) a = 20/5 = 4 m/s2。(2) 面积 = 三角形面积 = 1/2 * 5 * 20 = 50 m
加速度 a 不变的运动叫匀变速运动。这是最基本也最重要的运动模型，四个基本公式是整个运动学的核心。
匀变速直线运动有四个基本公式，但不要死背——只要记住加速度的定义和"v-t 图面积 = 位移"，其他都能推导：
| 公式 | 含义 | 适用条件 |
|---|---|---|
| v = v0 + at | 速度-时间关系 | 已知 v0、a、t 求 v |
| x = v0*t + 1/2*a*t^2 | 位移-时间关系 | 已知 v0、a、t 求 x |
| v^2 - v0^2 = 2ax | 速度-位移关系（消去 t） | 不含时间 t 的问题 |
| x = (v0+v)/2 * t | 平均速度公式 | 已知初末速度和时间 |
自由落体是初速度 v0=0、加速度 a=g 的匀变速运动。g 约 9.8 m/s2（计算中常取 10）。
汽车刹车是匀减速运动（a 为负值）。刹车距离 = 反应距离 + 制动距离。反应时间约 0.5-1 秒（此期间匀速），制动后匀减速到停止。
汽车初速度 20 m/s，以 2 m/s2 的加速度匀加速，求 5 秒后的速度和位移。
速度：v = 20 + 2*5 = 30 m/s
位移：x = 20*5 + 1/2*2*25 = 125 m
从楼顶自由落下一石子，2 秒落地。求楼高和落地速度。（g=10）
楼高：h = 1/2*10*4 = 20 m
落地速度：v = 10*2 = 20 m/s
汽车以 72 km/h（=20 m/s）行驶，司机反应时间 0.5 s，刹车后加速度 5 m/s2。总刹车距离多少？
反应距离：s1 = 20*0.5 = 10 m
制动时间：t = 20/5 = 4 s
制动距离：s2 = 20*4 - 1/2*5*16 = 40 m
总距离 = 50 m
抛体运动的秘密在于"运动的独立性"——水平和竖直两个方向互不影响，可以分别分析。
抛体运动可以分解为两个独立的运动：
从高处水平抛出，初速度只有水平分量 vx = v0，竖直方向初速度为 0。
以初速度 v0、角度 theta 斜向上抛出：
从 45 m 高处水平抛出物体，初速度 10 m/s。求：(1) 落地时间；(2) 水平射程；(3) 落地速度大小。（g=10）
(1) t = sqrt(2*45/10) = 3 s
(2) R = 10*3 = 30 m
(3) vy = 10*3 = 30 m/s，v = sqrt(100+900) = 31.6 m/s
以 20 m/s、30 度角斜上抛，最大高度和射程各多少？（g=10）
最大高度：H = 400*sin^2(30)/(2*10) = 5 m
射程：R = 400*sin(60)/10 = 34.6 m
牛顿三定律是经典力学的基石，将"力"和"运动"联系在一起。一切动力学问题都从这三条定律出发。
想看力这个概念的四次飞跃——从推拉的直觉到场和能量原理？看力主题树。
一切物体总保持匀速直线运动状态或静止状态，除非作用在它上面的力迫使它改变这种状态。
F = ma（合外力 = 质量 x 加速度）
作用力和反作用力：大小相等、方向相反、作用在不同物体上、同时产生同时消失、同种性质的力。
5 kg 的箱子在光滑水平面上受 20 N 水平力，加速度多少？如果有摩擦力 5 N 呢？
光滑：a = 20/5 = 4 m/s2
有摩擦：合力 = 20-5 = 15 N，a = 15/5 = 3 m/s2
10 kg 物体放在 30 度光滑斜面上，从静止释放，加速度多大？（g=10）
沿斜面方向合力 = mg*sin(30) = 10*10*0.5 = 50 N
a = 50/10 = 5 m/s2（沿斜面向下）
60 kg 的人站在电梯里的体重计上。电梯以 2 m/s2 加速上升时，体重计读数多少？以 2 m/s2 加速下降时呢？（g=10）
加速上升：N - mg = ma，N = 60*(10+2) = 720 N（超重）
加速下降：mg - N = ma，N = 60*(10-2) = 480 N（失重）
摩擦力是现实生活中无处不在的力。理解摩擦力，才能真正解决实际力学问题。
用绳子连接两个物体的系统（阿特伍德机），绳中张力处处相等，两物体加速度大小相等。用整体法和隔离法分析：
质量 3 kg 和 1 kg 的物体用轻绳通过定滑轮连接（3 kg 在下，1 kg 在上），求加速度和绳中张力。（g=10）
假设 3 kg 向下加速，1 kg 向上加速：
整体法：(3-1)*10 = (3+1)*a，a = 5 m/s2
隔离法对 1 kg：T - 1*10 = 1*5，T = 15 N
匀速圆周运动"匀速"不等于"没有加速度"——速度方向一直在变，所以一定有加速度。
| 物理量 | 符号 | 公式 | 说明 |
|---|---|---|---|
| 线速度 | v | v = 2*pi*r / T | 弧长 / 时间，方向沿切线 |
| 角速度 | omega | omega = 2*pi / T | 角度 / 时间，单位 rad/s |
| 周期 | T | 转一圈的时间 | 单位：秒 |
| 转速 | n | 每秒转数 | omega = 2*pi*n |
| 向心加速度 | a | a = v^2/r = omega^2*r | 指向圆心 |
F = m*v^2/r = m*omega^2*r
静摩擦力提供向心力：f = m*v^2/r。最大安全速度 v_max = sqrt(mu*g*r)，超过就打滑。
重力和支持力的合力提供向心力。最佳倾角：tan(theta) = v^2/(rg)，此时不需要摩擦力就能转弯。
绳子拉力 T 的竖直分量平衡重力（T*cos(theta)=mg），水平分量提供向心力（T*sin(theta)=m*omega^2*r）。角度越大，转得越快。
汽车过半径 50 m 的弯道，路面摩擦系数 0.4，最大安全速度多少？（g=10）
v = sqrt(0.4*10*50) = sqrt(200) = 14.1 m/s（约 50.8 km/h）
苹果落地和月亮绕地球，其实是同一个力——牛顿最伟大的洞察之一。
F = G * M * m / r^2
其中 G = 6.67 x 10^-11 N*m^2/kg^2（万有引力常量）。任何两个有质量的物体之间都有引力——你和这本书之间也有引力，只是太小了。
| 定律 | 内容 | 要点 |
|---|---|---|
| 第一定律（轨道定律） | 行星绕太阳的轨道是椭圆，太阳在焦点上 | 不是正圆，是椭圆 |
| 第二定律（面积定律） | 行星与太阳连线在相等时间内扫过相等面积 | 近日点速度快，远日点速度慢 |
| 第三定律（周期定律） | a^3 / T^2 = 常数 | 半长轴越大，周期越长 |
在地面附近绕地球做圆周运动的最小速度。此时万有引力完全充当向心力：GMm/r^2 = mv^2/r
脱离地球引力束缚的最小速度（逃逸速度）。动能 = 引力势能的绝对值。
飞出太阳系的最小速度。要同时克服地球和太阳的引力。
同步卫星的周期 = 地球自转周期 = 24 小时，始终在赤道正上方。
地球半径 6400 km，地球质量 6 x 10^24 kg，G = 6.67 x 10^-11。求地球表面的重力加速度 g。
g = GM/R^2 = 6.67e-11 * 6e24 / (6.4e6)^2 = 9.77 m/s2（约 9.8）
能量方法是力学中最强大的解题工具之一——很多时候不需要知道力和加速度的细节，只看初末状态就能解题。
想看能量的四次飞跃——从"有力气"到守恒、熵增和量子化？看能量主题树。
W = F * s * cos(theta)
动能：Ek = 1/2 * m * v^2
动能定理：合外力做的功等于动能的变化量。
W_total = 1/2*m*v^2 - 1/2*m*v0^2 = Ek - Ek0
Ep = m * g * h
当只有重力或弹簧弹力做功时（没有摩擦力等非保守力做功），机械能守恒：
Ek + Ep = 常数
即 1/2*m*v^2 + m*g*h = 常数
过山车从 20 m 高处无初速滑下，到达底部时速度多少？到达 10 m 高处时速度多少？（g=10，忽略摩擦）
底部：mgh = 1/2*mv^2，v = sqrt(2*10*20) = 20 m/s
10 m 处：mg*20 = mg*10 + 1/2*mv^2，v = sqrt(2*10*10) = 14.1 m/s
弹簧是最常见的弹性体。胡克定律揭示了弹力与形变的线性关系，弹簧势能则是机械能守恒的重要组成部分。
弹簧发生弹性形变时，弹力与形变量成正比：
F = k * x
弹簧形变时储存的能量叫弹性势能（弹簧势能）：
Ep = 1/2 * k * x^2
当只有弹簧弹力和重力做功时，系统机械能守恒：
Ek + Ep(重力) + Ep(弹性) = 常数
即 1/2*mv^2 + mgh + 1/2*kx^2 = 常数
弹簧从最大压缩（或拉伸）处释放：
最大形变处：Ep(弹性) 最大，Ek = 0
平衡位置处：Ep(弹性) = 0，Ek 最大
能量反复在弹性势能和动能之间转换。
竖直悬挂的弹簧下挂物体，涉及重力势能和弹性势能两种势能。选好参考点后，总机械能 = Ek + mgh + 1/2*kx^2 = 常数。注意 x 是相对弹簧原长的形变量，h 是相对参考平面的高度。
一根弹簧挂 2 N 的物体时伸长 4 cm。再挂 3 N 物体时，弹簧总伸长多少？弹簧劲度系数 k 多大？
由 F = kx 得：k = 2 / 0.04 = 50 N/m
再挂 3 N，总重 5 N：x = 5 / 50 = 0.1 m = 10 cm
弹簧 k = 200 N/m，压缩 0.1 m 后释放一个 0.5 kg 的物体（光滑水平面）。物体离开弹簧后的速度多大？
弹性势能全部转化为动能：
1/2*k*x^2 = 1/2*m*v^2
1/2*200*0.01 = 1/2*0.5*v^2
v^2 = 4，v = 2 m/s
弹簧 k = 100 N/m，竖直放置，自然长度上端放一个 1 kg 物体后缓慢释放到平衡位置。求：(1) 平衡位置弹簧压缩量；(2) 从自然长度到平衡位置，重力势能减少多少？弹性势能增加多少？（g=10）
(1) 平衡时弹力 = 重力：kx = mg，x = 1*10/100 = 0.1 m
(2) 重力势能减少：mgx = 1*10*0.1 = 1 J
弹性势能增加：1/2*kx^2 = 1/2*100*0.01 = 0.5 J
差值 0.5 J 转化为动能（物体在平衡位置速度最大）
简谐运动是最基本、最重要的振动形式。它的核心特征是回复力与位移成正比且方向相反，运动图像是完美的正弦曲线。
物体在回复力作用下往复运动，当回复力满足以下条件时，称为简谐运动：
F = -k * x
弹簧振子是简谐运动的经典例子：质量为 m 的物体连接在劲度系数为 k 的弹簧上，在光滑水平面上振动。
单摆是简谐运动的另一个重要例子：一条不可伸长的轻绳，一端固定，另一端挂一个小球。
弹簧振子：T = 2π√(m/k)，与质量有关
单摆：T = 2π√(l/g)，与质量无关
原因：弹簧振子的回复力系数 k 和惯性质量 m 是独立的；单摆的回复力（mg sinθ）和质量 m 在表达式中消去了。
(1) 测重力加速度 g：精确测量摆长 l 和周期 T，由 g = 4π²l/T² 求出 g
(2) 计时器：摆钟利用单摆的等时性来计时。摆长越长，走时越慢（T 越大）。
简谐运动过程中，动能和势能（弹性势能或重力势能）不断相互转换：
| 位置 | 位移 x | 速度 v | 动能 Ek | 势能 Ep |
|---|---|---|---|---|
| 最大位移处 | ±A（最大） | 0 | 0 | 最大（½kA²） |
| 平衡位置 | 0 | 最大 | 最大（½mv²） | 0 |
| 任意位置 | x | v | ½mv² | ½kx² |
总能量守恒：1/2*k*A^2 = 1/2*m*v^2 + 1/2*k*x^2 = 常数
简谐运动中三个物理量随时间的变化都是正弦（或余弦）函数：
弹簧 k = 50 N/m，挂质量 0.5 kg 的物体做简谐运动。求周期和频率。
T = 2*pi*sqrt(m/k) = 2*pi*sqrt(0.5/50)
= 2*pi*sqrt(0.01) = 2*pi*0.1
T ≈ 0.628 s，f = 1/T ≈ 1.59 Hz
摆长 1 m 的单摆，周期多少？如果把这个摆拿到月球上（g 月 ≈ 1.6 m/s2），周期变为多少？（g 地 = 10 m/s2）
地球上：T = 2*pi*sqrt(1/10) ≈ 1.99 s
月球上：T = 2*pi*sqrt(1/1.6) ≈ 4.97 s
月球上周期变大，因为 g 变小了。
弹簧振子 k = 100 N/m，振幅 A = 0.1 m，物体质量 m = 0.2 kg。求：(1) 总机械能；(2) 平衡位置时速度；(3) 位移 x = 0.05 m 时的速度。
(1) 总能量：E = 1/2*k*A^2 = 1/2*100*0.01 = 0.5 J
(2) 平衡位置（x=0，Ep=0）：1/2*m*v^2 = 0.5，v = sqrt(0.5/0.1) = 2.24 m/s
(3) x = 0.05 时：Ep = 1/2*100*0.0025 = 0.125 J
Ek = 0.5 - 0.125 = 0.375 J
v = sqrt(2*0.375/0.2) = 1.94 m/s
用单摆测得摆长 0.99 m 时，50 次全振动用时 99.5 s。求当地重力加速度 g。
周期 T = 99.5/50 = 1.99 s
由 T = 2π√(l/g) 得：
g = 4*pi^2*l/T^2 = 4*9.87*0.99/3.96 = 9.87 m/s2
动量是牛顿力学中与能量并列的另一条主线。碰撞、爆炸、火箭推进等问题，用动量来解决最直接。
动量：p = m * v（矢量，方向与速度方向相同）
冲量：I = F * t（力对时间的累积效果）
F * t = m*v - m*v0（冲量 = 动量的变化量）
条件：系统不受外力或所受外力之和为零时，系统总动量守恒。
m1*v1 + m2*v2 = m1*v1' + m2*v2'
动量守恒 + 动能守恒。碰后两物体分开。
结果：v1' = (m1-m2)*v1/(m1+m2)，v2' = 2*m1*v1/(m1+m2)
碰后粘在一起，动能损失最大。
v' = (m1*v1+m2*v2)/(m1+m2)
火箭向后喷出燃气（动量向后），火箭获得向前的动量。这是变质量问题——火箭的质量在不断减少，但总动量（火箭+喷出的燃气）守恒。
质量 2 kg 的球以 3 m/s 撞上静止的 1 kg 球。(1) 完全非弹性碰撞（碰后粘在一起）：碰后速度？(2) 弹性碰撞：碰后各自速度？
(1) v' = 2*3/3 = 2 m/s（碰后一起运动）
(2) v1' = (2-1)*3/(2+1) = 1 m/s，v2' = 2*2*3/(2+1) = 4 m/s
火箭总质量 1000 kg，一次喷出 10 kg 燃气，速度 2000 m/s（相对火箭）。火箭获得的速度增量多少？（忽略重力）
动量守恒：0 = 10*(-2000) + 990*delta_v（燃气向后喷）
delta_v = 20000/990 = 20.2 m/s
前面的运动都是"平动"——物体上每一点运动相同。转动是另一种基本运动形式，在高中物理中初步接触。
tau = r * F * sin(theta)
力矩是力使物体绕轴转动的效果。r 是转轴到力的作用点的距离，theta 是 r 和 F 之间的夹角。力矩越大，转动效果越强。
转动惯量 I 是描述物体"转动惯性"的物理量——越难转动，转动惯量越大。
角动量：L = I * omega
当合外力矩为零时，角动量守恒：I1 * omega1 = I2 * omega2
一个转台上的学生两臂伸开时转速 2 rad/s，收回手臂后转速变为 5 rad/s。如果伸开时等效转动惯量为 3 kg*m^2，收回后转动惯量多少？
角动量守恒：I1*omega1 = I2*omega2
3*2 = I2*5，I2 = 1.2 kg*m^2
以下 12 道题覆盖本篇所有知识点，建议独立完成后再看答案。
物体做匀加速直线运动，第 1 秒内位移 3 m，第 2 秒内位移 5 m。求初速度和加速度。
汽车以 15 m/s 行驶，刹车后 3 s 停止。求刹车加速度和刹车距离。
一物体从高处自由落下，最后 1 秒下落了 25 m。求物体下落的总高度。（g=10）
从 20 m 高处以 15 m/s 水平抛出物体。求落地时间、水平射程和落地速度方向与水平的夹角。（g=10）
10 kg 物体放在 30 度粗糙斜面上，摩擦系数 0.3，从静止释放。求加速度。（g=10）
质量 4 kg 和 2 kg 的物体通过轻绳跨过定滑轮（4 kg 在下），求加速度和绳中张力。（g=10，忽略滑轮质量）
质量 1 kg 的小球用 1 m 长的绳子拴住做竖直面圆周运动。在最高点时速度至少多大才能完成完整圆周运动？（g=10）
某行星半径是地球 2 倍，质量是地球 8 倍。求该行星表面的重力加速度是地球的几倍。
质量 2 kg 的物体从 5 m 高处沿 30 度斜面滑下，到达底部速度 8 m/s。求摩擦力做的功。（g=10）
质量 3 kg 的球以 4 m/s 撞上静止的 1 kg 球（弹性碰撞），碰后两球速度各多少？碰撞中动能损失多少？
弹簧 k = 400 N/m，压缩 0.2 m 后水平释放一个 0.8 kg 的物体（光滑水平面）。物体离开弹簧后滑上一个 30 度的光滑斜面，能到达的最大高度是多少？（g=10）
单摆摆长 0.4 m，在甲地周期 1.26 s，在乙地周期 1.32 s。求甲乙两地的重力加速度之比 g甲:g乙。
详细解答：
连续相等时间间隔位移差 = a*T^2：5-3 = a*1，a = 2 m/s2。
第 1 秒内：s = v0*t + 1/2*a*t^2 = v0 + 1 = 3，v0 = 2 m/s。
加速度：a = (0-15)/3 = -5 m/s2（大小 5 m/s2）
刹车距离：s = 15*3 - 1/2*5*9 = 22.5 m
设总时间 t，则 h = 1/2*g*t^2，h-25 = 1/2*g*(t-1)^2
25 = 1/2*10*(t^2 - (t-1)^2) = 5*(2t-1)，t = 3 s
h = 1/2*10*9 = 45 m
落地时间：t = sqrt(2*20/10) = 2 s
水平射程：R = 15*2 = 30 m
落地竖直速度：vy = 10*2 = 20 m/s
夹角：tan(alpha) = 20/15 = 4/3，alpha = 53.1 度
沿斜面：ma = mg*sin30 - f = 50 - f
垂直斜面：N = mg*cos30 = 86.6 N
f = 0.3*86.6 = 26 N
a = (50-26)/10 = 2.4 m/s2
整体法（4 kg 向下加速）：(4-2)*10 = (4+2)*a，a = 10/3 = 3.33 m/s2
隔离法对 2 kg：T - 2*10 = 2*(10/3)，T = 26.67 N
最高点临界条件：重力 = 向心力
mg = mv^2/r，v = sqrt(g*r) = sqrt(10*1) = 3.16 m/s
g' = GM'/R'^2 = G*(8M)/(2R)^2 = 8/(4) * GM/R^2 = 2g
该行星重力加速度是地球的 2 倍
动能定理：mgh + W_f = 1/2*mv^2
W_f = 1/2*2*64 - 2*10*5 = 64 - 100 = -36 J（摩擦力做负功 36 J）
弹性碰撞公式：
v1' = (3-1)*4/(3+1) = 2 m/s（继续向前）
v2' = 2*3*4/(3+1) = 6 m/s（向前）
弹性碰撞动能守恒，动能损失 = 0 J
弹性势能全部转化为动能，再转化为重力势能：
1/2*k*x^2 = m*g*h
1/2*400*0.04 = 0.8*10*h
8 = 8h，h = 1 m
由 T = 2π√(l/g) 得 g = 4π²l/T²
g甲:g乙 = T乙²:T甲² = 1.32²:1.26² = 1.7424:1.5876 = 1.097:1 ≈ 1.10:1
高中力学不是终点，而是通向更深物理世界的起点。以下是几个重要的延伸方向。
大学物理不再用 F=ma 解复杂问题，而是引入拉格朗日方程和哈密顿方程，用能量来描述运动。广义坐标让约束问题变得简洁，最小作用量原理揭示了自然界的深层对称性。
机械能守恒只是更广泛能量守恒的特例。内能、化学能、核能、电磁能都在守恒范围内。能量不会凭空产生也不会凭空消失，只会从一种形式转化为另一种形式。
航天工程的核心。霍曼转移轨道、引力弹弓效应、拉格朗日点——这些航天器轨道设计的技术，都是从万有引力定律和开普勒定律出发的。
爱因斯坦的洞察：引力不是"力"，而是质量使时空弯曲。物体沿着弯曲时空的"直线"（测地线）走，看起来就像被引力拉弯了。GPS 卫星必须考虑广义相对论修正才能精确定位。
动量和能量守恒在微观世界同样成立。康普顿散射（光子和电子碰撞）必须同时满足动量守恒和能量守恒——这是量子力学最早的关键实验证据之一。
大学的刚体力学深入分析复杂转动：陀螺进动、欧拉角、角速度矢量、转动惯量张量。直升机尾桨、陀螺仪、天体自转都用到这些概念。